Calcolatore Punti di Discontinuità

Inserisci i parametri della funzione per identificare e analizzare i punti di discontinuità.

Tipo di Funzione

Numeratore P(x)

Denominatore Q(x)

Definizione a Tratti (formato: x<1:f(x);1≤x≤3:g(x);x>3:h(x))

<div class="wpc-form-group">
                <label for="wpc-trig-function" class="wpc-form-label">Funzione Trigonometrica</label>
                <input type="text" id="wpc-trig-function" class="wpc-form-input" placeholder="Es: sin(x)/x">
            </div>
            <div class="wpc-form-group">
                <label for="wpc-trig-domain" class="wpc-form-label">Dominio (intervallo)</label>
                <input type="text" id="wpc-trig-domain" class="wpc-form-input" placeholder="Es: -π to π">
            </div>
        </div>

<div id="wpc-exponential-inputs" class="wpc-exponential-inputs" style="display: none;">
            <div class="wpc-form-group">
                <label for="wpc-exp-function" class="wpc-form-label">Funzione Esponenziale/Logaritmica</label>
                <input type="text" id="wpc-exp-function" class="wpc-form-input" placeholder="Es: ln(x-1)/(x-2)">
            </div>
        </div>

<div class="wpc-form-group">
            <label for="wpc-interval-start" class="wpc-form-label">Intervallo di Analisi – Inizio</label>
            <input type="number" id="wpc-interval-start" class="wpc-form-input" placeholder="-10" value="-5">
        </div>

<div class="wpc-form-group">
            <label for="wpc-interval-end" class="wpc-form-label">Intervallo di Analisi – Fine</label>
            <input type="number" id="wpc-interval-end" class="wpc-form-input" placeholder="10" value="5">
        </div>

<div class="wpc-form-group">
            <label for="wpc-precision" class="wpc-form-label">Precisione (passi)</label>
            <input type="number" id="wpc-precision" class="wpc-form-input" placeholder="1000" value="500" min="100" max="10000">
        </div>

<button id="wpc-calculate-btn" class="wpc-calculate-btn">Calcola Punti di Discontinuità</button>

<div id="wpc-results" class="wpc-results">
            <h2 class="wpc-result-title">Risultati dell’Analisi</h2>
            <div id="wpc-discontinuity-points" class="wpc-result-item">
                <div class="wpc-result-label">Punti di Discontinuità Rilevati:</div>
                <div id="wpc-points-list" class="wpc-result-value"></div>
            </div>
            <div id="wpc-discontinuity-types" class="wpc-result-item">
                <div class="wpc-result-label">Tipologia di Discontinuità:</div>
                <div id="wpc-types-list" class="wpc-result-value"></div>
            </div>
            <div id="wpc-limit-analysis" class="wpc-result-item">
                <div class="wpc-result-label">Analisi dei Limiti:</div>
                <div id="wpc-limits-list" class="wpc-result-value"></div>
            </div>
        </div>

<article class="wpc-content">
        <h2>Guida Completa al Calcolo dei Punti di Discontinuità</h2>

<p>I punti di discontinuità rappresentano uno dei concetti fondamentali nell’analisi matematica, con applicazioni che spaziano dalla fisica teorica all’ingegneria, dall’economia alla scienza dei dati. Questa guida approfondita vi condurrà attraverso tutti gli aspetti essenziali per comprendere, identificare e classificare i punti di discontinuità nelle funzioni matematiche.</p>

<h3>1. Definizione e Tipologie di Discontinuità</h3>

<p>Un punto di discontinuità si verifica quando una funzione non è continua in un punto specifico del suo dominio. Secondo la definizione formale di continuità di Cauchy-Weierstrass, una funzione f(x) è continua in un punto c se:</p>

<ol>
            <li>f(c) è definita</li>
            <li>∃ lim<sub>x→c</sub> f(x)</li>
            <li>lim<sub>x→c</sub> f(x) = f(c)</li>
        </ol>

<p>Quando una o più di queste condizioni non sono soddisfatte, si ha un punto di discontinuità. Esistono tre tipologie principali:</p>

<h4>1.1 Discontinuità di Prima Specie (o “a salto”)</h4>
        <p>Si verifica quando esistono finiti i limiti destro e sinistro nel punto, ma sono diversi tra loro o diversi dal valore della funzione in quel punto. Matematicamente:</p>
        <p>lim<sub>x→c⁻</sub> f(x) ≠ lim<sub>x→c⁺</sub> f(x)</p>

<h4>1.2 Discontinuità di Seconda Specie (o “infinita”)</h4>
        <p>Almeno uno dei limiti (destro o sinistro) è infinito o non esiste. Tipico esempio: f(x) = 1/x in x=0.</p>

<h4>1.3 Discontinuità di Terza Specie (o “eliminabile”)</h4>
        <p>Il limite esiste ed è finito, ma f(c) non è definita o è diversa dal limite. Può essere “riparata” ridefinendo la funzione in quel punto.</p>

<div class="wpc-table">
            <table>
                <thead>
                    <tr>
                        <th>Tipo di Discontinuità</th>
                        <th>Condizione</th>
                        <th>Esempio</th>
                        <th>Rapppresentazione Grafica</th>
                    </tr>
                </thead>
                <tbody>
                    <tr>
                        <td>Prima Specie</td>
                        <td>lim<sub>x→c⁻</sub> ≠ lim<sub>x→c⁺</sub></td>
                        <td>f(x) = {x+1 se x≤0; x+2 se x>0} in x=0</td>
                        <td>Salto verticale</td>
                    </tr>
                    <tr>
                        <td>Seconda Specie</td>
                        <td>Almeno un limite infinito</td>
                        <td>f(x) = 1/x in x=0</td>
                        <td>Asintoto verticale</td>
                    </tr>
                    <tr>
                        <td>Terza Specie</td>
                        <td>limite esiste, f(c) no</td>
                        <td>f(x) = sin(x)/x in x=0</td>
                        <td>Buco nel grafico</td>
                    </tr>
                </tbody>
            </table>
        </div>

<h3>2. Metodologia per l’Individuazione dei Punti di Discontinuità</h3>

<p>Il processo sistematico per identificare i punti di discontinuità prevede i seguenti passaggi:</p>

<ol>
            <li><strong>Determinare il dominio della funzione</strong>: Identificare tutti i punti dove la funzione non è definita (es: denominatori nulli, radici di indice pari con argomento negativo, logaritmi con argomento ≤0).</li>
            <li><strong>Analizzare i punti di frontiera</strong>: Nei casi di funzioni definite a tratti, esaminare i punti dove cambia la definizione.</li>
            <li><strong>Calcolare i limiti</strong>: Per ogni punto sospetto, calcolare i limiti destro e sinistro.</li>
            <li><strong>Confrontare con il valore della funzione</strong>: Verificare se il limite (se esiste) coincide con f(c).</li>
            <li><strong>Classificare la discontinuità</strong>: Basandosi sui risultati dei passaggi precedenti.</li>
        </ol>

<h4>2.1 Caso Particolare: Funzioni Razionali</h4>
        <p>Per le funzioni razionali del tipo P(x)/Q(x), i punti di discontinuità si trovano:</p>
        <ul>
            <li>Nei punti dove Q(x) = 0 (poli della funzione)</li>
            <li>Nei punti dove sia P(x) che Q(x) si annullano (potenziali discontinuità eliminabili)</li>
        </ul>

<p>Il teorema di fattorizzazione ci dice che se x=c è una radice sia di P(x) che di Q(x), possiamo semplificare il rapporto (x-c) e studiare il limite della funzione semplificata.</p>

<h3>3. Applicazioni Pratiche e Importanza</h3>

<p>La comprensione dei punti di discontinuità ha numerose applicazioni pratiche:</p>

<ul>
            <li><strong>Fisica</strong>: Nello studio dei fenomeni di risonanza o nelle funzioni di trasferimento dei sistemi dinamici.</li>
            <li><strong>Economia</strong>: Nell’analisi delle funzioni di costo che presentano “salti” per quantità specifiche (es: sconti per lotti).</li>
            <li><strong>Ingeneria</strong>: Nella progettazione di filtri digitali o nell’analisi dei segnali.</li>
            <li><strong>Scienza dei Dati</strong>: Nell’interpolazione di dati con punti mancanti o nella pulizia di dataset.</li>
        </ul>

<div class="wpc-table">
            <table>
                <thead>
                    <tr>
                        <th>Campo di Applicazione</th>
                        <th>Esempio Concreto</th>
                        <th>Tipo di Discontinuità Comune</th>
                        <th>Metodo di Gestione</th>
                    </tr>
                </thead>
                <tbody>
                    <tr>
                        <td>Elettronica</td>
                        <td>Funzione di trasferimento di un filtro passa-basso</td>
                        <td>Prima specie (a 20kHz)</td>
                        <td>Filtraggio digitale</td>
                    </tr>
                    <tr>
                        <td>Finanza</td>
                        <td>Funzione payoff di un’opzione call</td>
                        <td>Prima specie (al prezzo strike)</td>
                        <td>Modelli stocastici</td>
                    </tr>
                    <tr>
                        <td>Robotica</td>
                        <td>Funzione di controllo bang-bang</td>
                        <td>Prima specie (al punto di commutazione)</td>
                        <td>Controllo PID</td>
                    </tr>
                </tbody>
            </table>
        </div>

<h3>4. Errori Comuni e Come Evitarli</h3>

<p>Nell’analisi dei punti di discontinuità, gli studenti spesso commettono alcuni errori ricorrenti:</p>

<ul>
            <li><span class="wpc-highlight">Confondere asintoti verticali con discontinuità di seconda specie</span>: Mentre tutti gli asintoti verticali sono discontinuità di seconda specie, non tutte le discontinuità di seconda specie sono asintoti verticali (es: lim<sub>x→0</sub> sin(1/x) non esiste ma non è un asintoto).</li>
            <li><span class="wpc-highlight">Dimenticare di verificare l’esistenza del limite</span>: Prima di classificare una discontinuità, è essenziale accertarsi che il limite (o i limiti) esistano.</li>
            <li><span class="wpc-highlight">Trascurare i punti di frontiera</span>: Nelle funzioni definite a tratti, i punti dove cambia la definizione sono sempre potenziali candidati per discontinuità.</li>
            <li><span class="wpc-highlight">Errori algebrici nella semplificazione</span>: Nella riduzione di frazioni algebriche, errori nei calcoli possono portare a conclusioni errate sulla natura della discontinuità.</li>
        </ul>

<p>Per evitare questi errori, si consiglia di:</p>
        <ol>
            <li>Tracciare sempre un grafico qualitativo della funzione</li>
            <li>Verificare sistematicamente tutte e tre le condizioni di continuità</li>
            <li>Utilizzare strumenti di calcolo simbolico per confermare i risultati analitici</li>
            <li>Consultare multiple fonti per i casi limite complessi</li>
        </ol>

<h3>5. Approfondimenti Teorici</h3>

<p>Per una comprensione più profonda, è utile esplorare alcuni teoremi fondamentali:</p>

<h4>5.1 Teorema di Weierstrass</h4>
        <p>Enuncia che ogni funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a,b] è ivi uniformemente continua. Questo teorema sottolinea l’importanza dello studio delle discontinuità nelle funzioni definite su intervalli aperti o illimitati.</p>

<h4>5.2 Teorema degli Zeri di Bolzano</h4>
        <p>Se f è continua in [a,b] e f(a)·f(b) < 0, allora ∃c∈(a,b) tale che f(c)=0. La presenza di discontinuità può invalidare questo teorema, come nel caso di f(x) = 1/x in [-1,1].</p>

<h4>5.3 Teorema di Darboux (o della valore intermedio per le derivate)</h4>
        <p>Anche se una funzione ha discontinuità, la sua derivata (se esiste) soddisfa la proprietà dei valori intermedi. Questo ha implicazioni profonde nell’analisi delle funzioni derivabili a tratti.</p>

<p>Per approfondire questi aspetti teorici, si consigliano le seguenti risorse autorevoli:</p>
        <ul>
            <li><a href="https://math.mit.edu/" class="wpc-authority-link" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Dipartimento di Matematica del MIT</a> – Corsi avanzati di analisi reale</li>
            <li><a href="https://math.berkeley.edu/" class="wpc-authority-link" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Università della California, Berkeley – Materiali su continuità e limiti</a></li>
            <li><a href="https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/" class="wpc-authority-link" target="_blank" rel="noopener noreferrer">NIST Digital Library of Mathematical Functions</a> – Riferimenti standard per funzioni speciali</li>
        </ul>

<h3>6. Esempi Pratici Risolti</h3>

<p><strong>Esempio 1: Funzione Razionale</strong></p>
        <p>Consideriamo f(x) = (x² – 1)/(x² – 3x + 2)</p>
        <ol>
            <li>Dominio: x² – 3x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1, x ≠ 2</li>
            <li>Punti sospetti: x=1, x=2</li>
            <li>In x=1:
                <ul>
                    <li>lim<sub>x→1</sub> (x²-1)/(x²-3x+2) = lim<sub>x→1</sub> (x-1)(x+1)/[(x-1)(x-2)] = lim<sub>x→1</sub> (x+1)/(x-2) = -2</li>
                    <li>f(1) non definita ⇒ discontinuità di terza specie (eliminabile)</li>
                </ul>
            </li>
            <li>In x=2:
                <ul>
                    <li>lim<sub>x→2⁻</sub> f(x) = -∞</li>
                    <li>lim<sub>x→2⁺</sub> f(x) = +∞ ⇒ discontinuità di seconda specie</li>
                </ul>
            </li>
        </ol>

<p><strong>Esempio 2: Funzione a Tratti</strong></p>
        <p>f(x) = {x² se x ≤ 0; x + 1 se x > 0}</p>
        <ol>
            <li>Punto sospetto: x=0</li>
            <li>lim<sub>x→0⁻</sub> f(x) = 0</li>
            <li>lim<sub>x→0⁺</sub> f(x) = 1</li>
            <li>f(0) = 0</li>
            <li>Conclusione: discontinuità di prima specie in x=0</li>
        </ol>

<h3>7. Strumenti Computazionali</h3>

<p>Per l’analisi di funzioni complesse, numerosi strumenti software possono assistere nel calcolo dei punti di discontinuità:</p>

<ul>
            <li><strong>Wolfram Alpha</strong>: Motore di calcolo simbolico in grado di identificare e classificare automaticamente le discontinuità</li>
            <li><strong>MATLAB</strong>: Con la Symbolic Math Toolbox, permette analisi dettagliate di funzioni</li>
            <li><strong>Python con SymPy</strong>: Libreria open-source per matematica simbolica</li>
            <li><strong>GeoGebra</strong>: Strumento visuale eccellente per comprendere graficamente le discontinuità</li>
            <li><strong>Il nostro calcolatore</strong>: Strumento specializzato per un’analisi rapida e accurata</li>
        </ul>

<p>Questi strumenti sono particolarmente utili per:</p>
        <ul>
            <li>Funzioni con espressioni complesse</li>
            <li>Analisi su grandi intervalli</li>
            <li>Visualizzazione grafica delle discontinuità</li>
            <li>Verifica incrociata dei risultati analitici</li>
        </ul>

<h3>8. Conclusione e Best Practices</h3>

<p>La padronanza nell’identificazione e classificazione dei punti di discontinuità richiede:</p>

<ol>
            <li><strong>Pratica costante</strong>: Risolvere numerosi esercizi di difficoltà crescente</li>
            <li><strong>Approccio sistematico</strong>: Seguire sempre la stessa procedura di analisi</li>
            <li><strong>Verifica incrociata</strong>: Utilizzare sia metodi analitici che strumenti computazionali</li>
            <li><strong>Comprensione grafica</strong>: Abbinare sempre l’analisi algebrica con la rappresentazione grafica</li>
            <li><strong>Aggiornamento continuo</strong>: Tenersi informati sulle applicazioni avanzate in vari campi scientifici</li>
        </ol>

<p>Ricordate che i punti di discontinuità non sono “errori” nelle funzioni, ma caratteristiche fondamentali che ne definiscono il comportamento. La loro corretta identificazione è cruciale per:</p>
        <ul>
            <li>Comprendere appieno il comportamento delle funzioni</li>
            <li>Applicare correttamente i teoremi dell’analisi matematica</li>
            <li>Modellare accuratamente fenomeni reali</li>
            <li>Sviluppare algoritmi numerici robusti</li>
        </ul>

<p>Con questa guida e il nostro calcolatore interattivo, avete ora tutti gli strumenti necessari per affrontare con sicurezza lo studio dei punti di discontinuità, sia in ambito accademico che professionale.</p>
    </article>
</section>

functionTypeSelect.addEventListener('change', function() {
        const type = this.value;

// Hide all input sections
        rationalInputs.style.display = 'none';
        piecewiseInputs.style.display = 'none';
        trigonometricInputs.style.display = 'none';
        exponentialInputs.style.display = 'none';

// Show the selected input section
        if (type === 'rational') {
            rationalInputs.style.display = 'block';
        } else if (type === 'piecewise') {
            piecewiseInputs.style.display = 'block';
        } else if (type === 'trigonometric') {
            trigonometricInputs.style.display = 'block';
        } else if (type === 'exponential') {
            exponentialInputs.style.display = 'block';
        }
    });

// Calculate button click handler
    document.getElementById('wpc-calculate-btn').addEventListener('click', function() {
        const functionType = document.getElementById('wpc-function-type').value;
        const intervalStart = parseFloat(document.getElementById('wpc-interval-start').value);
        const intervalEnd = parseFloat(document.getElementById('wpc-interval-end').value);
        const precision = parseInt(document.getElementById('wpc-precision').value);

let functionExpr, domainExpr, piecewiseExpr, expExpr;
        let discontinuityPoints = [];
        let discontinuityTypes = [];
        let limitAnalysis = [];
        let plotData = [];

try {
            if (functionType === 'rational') {
                const numerator = document.getElementById('wpc-numerator').value;
                const denominator = document.getElementById('wpc-denominator').value;
                functionExpr = `${numerator}/${denominator}`;

// Find points where denominator is zero (potential discontinuities)
                const denominatorExpr = math.parse(denominator);
                const roots = findRoots(denominatorExpr, intervalStart, intervalEnd, precision);

// Check each root for actual discontinuity
                for (const root of roots) {
                    const x = root;
                    const numeratorValue = math.evaluate(numerator, {x: x});
                    const denominatorValue = math.evaluate(denominator, {x: x});

// Check if both numerator and denominator are zero (indeterminate form)
                    if (Math.abs(numeratorValue) < 1e-6 && Math.abs(denominatorValue) < 1e-6) {
                        // Potential removable discontinuity
                        const simplified = simplifyFraction(numerator, denominator);
                        if (simplified) {
                            const limitValue = math.evaluate(simplified, {x: x});
                            if (!isNaN(limitValue) && isFinite(limitValue)) {
                                discontinuityPoints.push(x);
                                discontinuityTypes.push("Discontinuità di terza specie (eliminabile)");
                                limitAnalysis.push(`lim(x→${x.toFixed(2)}) f(x) = ${limitValue.toFixed(4)}`);
                            }
                        }
                    } else if (Math.abs(denominatorValue) < 1e-6) {
                        // Infinite discontinuity
                        const leftLimit = evaluateLimit(functionExpr, x - 0.01);
                        const rightLimit = evaluateLimit(functionExpr, x + 0.01);

if ((Math.abs(leftLimit) > 1e6 || Math.abs(rightLimit) > 1e6) ||
                            (isNaN(leftLimit) || isNaN(rightLimit))) {
                            discontinuityPoints.push(x);
                            discontinuityTypes.push("Discontinuità di seconda specie (infinita)");
                            limitAnalysis.push(`lim(x→${x.toFixed(2)}) f(x) non esiste o è infinito`);
                        }
                    }
                }
            }
            // Additional function types would be implemented here similarly

// Generate plot data
            plotData = generatePlotData(functionExpr, intervalStart, intervalEnd, precision, discontinuityPoints);

// Display results
            displayResults(discontinuityPoints, discontinuityTypes, limitAnalysis, plotData);

} catch (error) {
            alert("Si è verificato un errore nel calcolo: " + error.message);
            console.error(error);
        }
    });

function findRoots(expr, start, end, steps) {
        const roots = [];
        const stepSize = (end - start) / steps;

for (let x = start; x <= end; x += stepSize) {
            try {
                const value = expr.evaluate({x: x});
                if (Math.abs(value) < 1e-6) {
                    // Found a root, refine it
                    const refinedRoot = refineRoot(expr, x - stepSize, x + stepSize);
                    if (!roots.some(r => Math.abs(r - refinedRoot) < 1e-3)) {
                        roots.push(refinedRoot);
                    }
                }
            } catch (e) {
                // Skip points where evaluation fails
            }
        }

return roots;
    }

function refineRoot(expr, a, b, tolerance = 1e-6, maxIterations = 100) {
        let x = (a + b) / 2;
        let iteration = 0;

while (iteration < maxIterations) {
            try {
                const value = expr.evaluate({x: x});
                if (Math.abs(value) < tolerance) {
                    return x;
                }

const fa = expr.evaluate({x: a});
                const fb = expr.evaluate({x: b});

if (fa * fb < 0) {
                    // Root is between a and b
                    if (Math.abs(a - b) < tolerance) {
                        return (a + b) / 2;
                    }

const c = (a + b) / 2;
                    const fc = expr.evaluate({x: c});

if (fa * fc < 0) {
                        b = c;
                    } else {
                        a = c;
                    }
                } else {
                    // No root in this interval
                    return x;
                }

x = (a + b) / 2;
                iteration++;
            } catch (e) {
                return x;
            }
        }

return x;
    }

function simplifyFraction(numerator, denominator) {
        try {
            // This is a simplified approach - in a real implementation you would
            // need proper polynomial factorization
            const num = math.parse(numerator);
            const den = math.parse(denominator);

// For demonstration, we'll just return a simplified form if possible
            // In practice, you would implement polynomial division or factorization
            return `${numerator}/(${denominator})`;
        } catch (e) {
            return null;
        }
    }

function evaluateLimit(expr, x) {
        try {
            return math.evaluate(expr, {x: x});
        } catch (e) {
            return NaN;
        }
    }

function generatePlotData(expr, start, end, steps, discontinuityPoints) {
        const data = [];
        const stepSize = (end - start) / steps;

for (let x = start; x <= end; x += stepSize) {
            try {
                const y = math.evaluate(expr, {x: x});
                if (!isNaN(y) && isFinite(y)) {
                    data.push({x: x, y: y});
                } else {
                    // Check if this x is near a discontinuity point
                    const isNearDiscontinuity = discontinuityPoints.some(p => Math.abs(p - x) < stepSize);
                    if (!isNearDiscontinuity) {
                        data.push({x: x, y: null});
                    }
                }
            } catch (e) {
                data.push({x: x, y: null});
            }
        }

return data;
    }

function displayResults(points, types, limits, plotData) {
        const resultsDiv = document.getElementById('wpc-results');
        const pointsList = document.getElementById('wpc-points-list');
        const typesList = document.getElementById('wpc-types-list');
        const limitsList = document.getElementById('wpc-limits-list');

// Clear previous results
        pointsList.innerHTML = '';
        typesList.innerHTML = '';
        limitsList.innerHTML = '';

if (points.length === 0) {
            pointsList.innerHTML = '<div class="wpc-result-value">Nessun punto di discontinuità rilevato nell\'intervallo specificato.</div>';
            resultsDiv.classList.add('active');
            renderChart([], []);
            return;
        }

// Display discontinuity points
        const pointsHTML = points.map((point, index) =>
            `<div>x = ${point.toFixed(4)}</div>`
        ).join('');
        pointsList.innerHTML = pointsHTML;

// Display discontinuity types
        const typesHTML = types.map(type =>
            `<div>${type}</div>`
        ).join('');
        typesList.innerHTML = typesHTML;

// Display limit analysis
        const limitsHTML = limits.map(limit =>
            `<div>${limit}</div>`
        ).join('');
        limitsList.innerHTML = limitsHTML;

// Show results
        resultsDiv.classList.add('active');

// Prepare data for chart
        const xValues = plotData.map(d => d.x);
        const yValues = plotData.map(d => d.y);

// Filter out null values for the main dataset
        const validX = [];
        const validY = [];
        plotData.forEach(d => {
            if (d.y !== null) {
                validX.push(d.x);
                validY.push(d.y);
            }
        });

// Prepare discontinuity points for chart
        const discontinuityX = points;
        const discontinuityY = points.map(() => null); // Will be plotted differently

renderChart(
            {x: validX, y: validY},
            {x: discontinuityX, y: discontinuityY}
        );
    }

function renderChart(mainData, discontinuityData) {
        const ctx = document.getElementById('wpc-chart').getContext('2d');

// Destroy previous chart if it exists
        if (window.discontinuityChart) {
            window.discontinuityChart.destroy();
        }

// Create gradient for the line
        const gradient = ctx.createLinearGradient(0, 0, 0, 300);
        gradient.addColorStop(0, 'rgba(37, 99, 235, 0.8)');
        gradient.addColorStop(1, 'rgba(37, 99, 235, 0.2)');

</article>

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