Calcolare Resistenze Limite Di Progetto Allo Slu E Allo Sld

Calcola le resistenze limite di progetto allo stato limite ultimo (SLU) e allo stato limite di esercizio (SLD) secondo le normative tecniche vigenti.

Guida Completa al Calcolo delle Resistenze Limite di Progetto (SLU e SLD)

Il calcolo delle resistenze limite di progetto allo Stato Limite Ultimo (SLU) e allo Stato Limite di Esercizio (SLD) rappresenta un passaggio fondamentale nella progettazione geotecnica delle fondazioni. Questo processo consente di garantire la sicurezza e la stabilità delle strutture nei confronti dei cedimenti e dei collassi, in conformità con le normative tecniche vigenti.

In questa guida approfondiremo:

• I principi teorici alla base dei calcoli
• Le formule analitiche per il dimensionamento
• I parametri geotecnici essenziali
• Le differenze tra SLU e SLD
• Esempi pratici di applicazione
• Riferimenti normativi (NTC 2018, Eurocodice 7)

1. Differenze tra Stato Limite Ultimo (SLU) e Stato Limite di Esercizio (SLD)

Stato Limite Ultimo (SLU)

Lo SLU rappresenta la condizione oltre la quale la struttura perde la sua capacità portante, con conseguente collasso. I calcoli allo SLU devono garantire che:

• La resistenza del terreno sia superiore ai carichi applicati, moltiplicati per opportuni coefficienti di sicurezza
• Siano considerate le combinazioni di carico più sfavorevoli
• Siano applicati i coefficienti parziali sui parametri geotecnici (γ_M, γ_R)

Le NTC 2018 prescrivono per lo SLU un approccio basato su:

“Le verifiche agli stati limite ultimi (SLU) devono essere effettuate con riferimento a valori di progetto delle azioni e delle resistenze, ottenuti dividendo i valori caratteristici per opportuni coefficienti parziali.”

Stato Limite di Esercizio (SLD)

Lo SLD si riferisce invece a condizioni di esercizio della struttura, dove i cedimenti devono essere contenuti entro limiti accettabili per:

• Il corretto funzionamento degli elementi strutturali
• Il comfort degli occupanti
• L’integrità delle finiture e degli impianti

I cedimenti ammissibili variano in funzione:

• Del tipo di struttura (edifici civili, ponti, dighe)
• Della sensibilità degli elementi non strutturali
• Delle normative locali (es. NTC 2018 indicano cedimenti differenziali ≤ L/500 per edifici comuni)

2. Parametri Geotecnici Fondamentali

I principali parametri necessari per il calcolo delle resistenze limite sono:

Parametro	Simbolo	Unità di misura	Valori tipici	Metodo di determinazione
Coesione efficace	c’	kPa	Argille: 5-50 Limi: 1-10 Sabbie: 0	Prova triassiale consolidata-drenata (CD)
Angolo di attrito efficace	φ’	°	Argille: 20-30 Sabbie: 30-40 Ghiaie: 35-45	Prova triassiale o taglio diretto
Peso di volume	γ	kN/m³	Argille: 16-20 Sabbie: 18-22 Rocce: 22-28	Pesatura campioni indisturbati
Modulo edometrico	Eed	MPa	Argille: 2-20 Sabbie: 10-50 Ghiaie: 50-100	Prova edometrica
Coefficiente di spinta a riposo	K0	–	Sabbie NC: 1-sinφ’ Argille NC: 0.5-0.8	Misura in sito o correlazioni

3. Formule per il Calcolo della Capacità Portante

La capacità portante ultima di una fondazione superficiale viene generalmente calcolata con l’equazione generale di Terzaghi (1943), successivamente modificata da Meyerhof (1951) e Vesic (1973):

q
_lim = c’·N_c·s_c·d_c·i_c + q’·N_q·s_q·d_q·i_q + 0.5·γ·B·N_γ·s_γ·d_γ·i_γ

Dove:

• c’: coesione efficace del terreno
• q’: tensione verticale efficace alla base della fondazione (γ·D)
• γ: peso di volume del terreno
• B: larghezza della fondazione
• N_c, N_q, N_γ: fattori di capacità portante (funzione di φ’)
• s_c, s_q, s_γ: fattori di forma
• d_c, d_q, d_γ: fattori di profondità
• i_c, i_q, i_γ: fattori di inclinazione del carico

Fattori di capacità portante (N)

I fattori N_q e N_γ possono essere calcolati con le seguenti espressioni approssimate:

N_q = e^π·tanφ’ · tan²(45° + φ’/2)

Per φ’ = 30° → N_q ≈ 18.4

N_γ = 2·(N_q + 1)·tanφ’

Per φ’ = 30° → N_γ ≈ 15.7

Il fattore N_c viene invece calcolato come:

N_c = (N_q – 1) · cotφ’

Fattori di forma (s)

I fattori di forma tengono conto della geometria della fondazione:

s_q = 1 + (B/L)·sinφ’

Per fondazioni quadrate (B=L) → s_q = 1 + sinφ’

s_γ = 1 – 0.4·(B/L)

Per fondazioni nastro (L >> B) → s_γ ≈ 0.6

4. Verifiche secondo le NTC 2018

Le Norme Tecniche per le Costruzioni 2018 prescrivono specifiche procedure per le verifiche geotecniche. Di seguito i principali passaggi:

1. Definizione delle azioni: I carichi devono essere combinati secondo le regole del §2.5 delle NTC 2018, considerando le combinazioni fondamentali (SLU) e quasi permanenti (SLD).
2. Scelta dei parametri geotecnici: I valori caratteristici devono essere derivati da indagini in sito e prove di laboratorio, applicando eventuali fattori di correlazione.
3. Applicazione dei coefficienti parziali:
   • Per le azioni: γ_F (generalmente 1.3 per carichi permanenti, 1.5 per variabili)
   • Per i parametri geotecnici: γ_M (1.0-1.4 a seconda del parametro e del livello di conoscenza)
   • Per le resistenze: γ_R (generalmente 1.0 per SLU, 1.0 per SLD)
4. Verifica SLU: Deve essere soddisfatta la condizione:
   R_d ≥ E_d
   Dove R_d è la resistenza di progetto e E_d è il valore di progetto dell’azione.
5. Verifica SLD: I cedimenti devono essere ≤ ai valori ammissibili indicati in tabella 6.4.II delle NTC 2018.

Coefficienti parziali per le verifiche geotecniche (NTC 2018, Tab. 6.2.I)

Parametro	Simbolo	Valore (Approccio 1)	Valore (Approccio 2)
Angolo di attrito	γφ’	1.0	1.25
Coesione efficace	γc’	1.0	1.25
Resistenza non drenata	γcu	1.0	1.4
Peso di volume	γγ	1.0	1.0
Resistenza di progetto	γR	1.0	1.0

5. Esempio Pratico di Calcolo

Consideriamo una fondazione quadrata (B = L = 1.5 m) posata a D = 1.0 m di profondità in un terreno sabbioso con le seguenti caratteristiche:

• φ’ = 32°
• c’ = 0 kPa (terreno non coesivo)
• γ = 18 kN/m³
• Falda a grande profondità (nessun effetto)

Carico applicato: Q = 500 kN (permanente)

Passo 1: Calcolo dei fattori di capacità portante

N_q = e^{π·tan(32°)} · tan²(45° + 32°/2) ≈ 23.2
N_γ = 2·(23.2 + 1)·tan(32°) ≈ 30.2
N_c = (23.2 – 1)·cot(32°) ≈ 37.2

Passo 2: Calcolo dei fattori di forma

s_q = 1 + (1.5/1.5)·sin(32°) ≈ 1.88
s_γ = 1 – 0.4·(1.5/1.5) = 0.6

Passo 3: Calcolo dei fattori di profondità

d_q = 1 + 2·tan(32°)·(1 – sin(32°))²·(1.0/1.5) ≈ 1.18
d_γ = 1

Passo 4: Calcolo della capacità portante ultima

q’ = γ·D = 18·1.0 = 18 kPa
q_lim = 0 + 18·23.2·1.88·1.18 + 0.5·18·1.5·30.2·0.6·1 ≈ 1120 kPa
Q_lim = q_lim·B·L = 1120·1.5·1.5 ≈ 2520 kN

Passo 5: Verifica SLU

Applichiamo i coefficienti parziali (Approccio 1 delle NTC 2018):

Q_d = 1.3·500 = 650 kN (carico di progetto)
R_d = 2520 / 1.0 = 2520 kN (resistenza di progetto)
Verifica: 2520 kN ≥ 650 kN → VERIFICATO

Passo 6: Verifica SLD

Calcoliamo il cedimento atteso con la formula di Schmertmann (1970):

s = C₁·C₂·Δp · Σ[(I_z/E)·Δz]
Dove:
– C₁ = 1 – 0.5·(σ’_vo/Δp) ≈ 0.85
– C₂ = 1 + 0.2·log(t/0.1) ≈ 1.1 (per t = 1 anno)
– Δp = q_net = (500/2.25) – 18·1.0 ≈ 207 kPa
– I_z = fattore di influenza (funzione di z/B)
– E = modulo di Young (assunto 20 MPa per sabbia media)

Il cedimento calcolato risulta ≈ 15 mm, inferiore al limite ammissibile per edifici comuni (L/500 = 1500/500 = 3 mm per SLU, 15 mm per SLD).

6. Confronto tra Normative Internazionali

Confronto tra approcci normativi per le verifiche geotecniche

Parametro	NTC 2018 (Italia)	Eurocodice 7 (EN 1997-1)	ACI 318 (USA)
Approccio di progetto	Approccio 1 e 2 (coefficienti parziali)	3 Design Approaches (DA1, DA2, DA3)	Allowable Stress Design (ASD) o Strength Design
Coefficienti parziali su azioni	γF = 1.3 (permanenti), 1.5 (variabili)	γF = 1.35 (permanenti), 1.5 (variabili)	Fattori di carico (1.2-1.6)
Coefficienti parziali su parametri geotecnici	γM = 1.0-1.4	γM = 1.0-1.4 (a seconda dell’approccio)	Fattori φ (0.6-0.8 per capacità portante)
Combinazioni di carico	Combinazione fondamentale: 1.3G + 1.5Q	Combinazione 1: 1.35G + 1.5Q	1.2D + 1.6L (per SLU)
Cedimenti ammissibili	L/500 per SLU, L/300 per SLD	Specificati in normative nazionali	1″ (25 mm) per edifici comuni
Metodo per capacità portante	Terzaghi/Meyerhof con fattori correttivi	EN 1997-1 Annex D (metodi analitici)	Meyerhof o Vesic (con fattori di sicurezza)

7. Errori Comuni e Buone Pratiche

Errori da evitare

• Sottostima dei parametri geotecnici: Utilizzare valori conservativi senza adeguate indagini può portare a sovradimensionamenti costosi o, peggio, a sottodimensionamenti pericolosi.
• Ignorare la falda: La presenza di acqua riduce significativamente la capacità portante nei terreni non coesivi.
• Trascurare l’eccentricità dei carichi: Carichi non centrati riducono la capacità portante efficace.
• Non considerare le condizioni drenate/non drenate: In argille sature, le verifiche a breve termine (non drenate) possono essere critiche.
• Applicare coefficienti sbagliati: Confondere i coefficienti parziali tra SLU e SLD porta a verifiche errate.

Buone pratiche

• Eseguire indagini geognostiche adeguate: Almeno 2-3 sondaggi per edifici di medie dimensioni, con prelievo di campioni indisturbati.
• Utilizzare più metodi di calcolo: Confrontare i risultati di diversi approcci (es. Terzaghi vs. Meyerhof vs. elementi finiti).
• Considerare le incertezze: Applicare fattori di modello (γ_Rd) quando i metodi analitici sono approssimati.
• Verificare sia SLU che SLD: Una fondazione può essere sicura a collasso ma presentare cedimenti eccessivi.
• Documentare tutte le ipotesi: Riportare chiaramente in relazione i parametri assunti e le normative di riferimento.

8. Riferimenti Normativi e Bibliografia

Per approfondimenti, si consigliano le seguenti risorse autorevoli:

1. Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti – NTC 2018: Testo integrale delle Norme Tecniche per le Costruzioni 2018, con circolari esplicative.
2. Eurocodes Online: Versione ufficiale dell’Eurocodice 7 (EN 1997-1) con commenti nazionali.
3. Federal Highway Administration – Geotechnical Engineering: Linee guida americane per la progettazione geotecnica, inclusi manuali su fondazioni e stabilità dei pendii.
4. Bowles, J. E. (1996). Foundation Analysis and Design. McGraw-Hill: Testo di riferimento per la progettazione delle fondazioni, con numerosi esempi pratici.
5. Das, B. M. (2010). Principles of Geotechnical Engineering. Cengage Learning: Introduzione completa alla geotecnica, inclusi metodi per il calcolo della capacità portante.

9. Software e Strumenti Utili

Oltre ai calcoli manuali, esistono numerosi software professionali per le verifiche geotecniche:

• GGU-Settle: Software tedesco per il calcolo dei cedimenti, con database di parametri geotecnici.
• Plaxis 2D/3D: Programma agli elementi finiti per analisi geotecniche avanzate.
• SLIDE (Rocscience): Software specializzato per l’analisi di stabilità dei pendii.
• AllPie: Strumento per il calcolo della capacità portante secondo vari metodi (Terzaghi, Meyerhof, Hansen).
• GRLWEAP: Software per la progettazione di palificazioni, sviluppato dalla GRL Engineers.

Per progetti semplici, fogli di calcolo Excel ben strutturati (come quello implementato in questa pagina) possono essere sufficienti, purché validati da un ingegnere geotecnico qualificato.

10. Casi Studio Reali

Di seguito alcuni esempi reali che illustrano l’importanza di corrette verifiche geotecniche:

Caso 1: Torre di Pisa

Il famoso campanile di Pisa presenta un’inclinazione di circa 4° dovuta a:

• Terreno argilloso molto compressibile
• Fondazione insufficientemente profonda (solo 3 m)
• Carico eccentrico non adeguatamente considerato

Le opere di stabilizzazione (1990-2001) hanno incluso:

• Sottoscavo controllato (estrazione di terreno dal lato nord)
• Installazione di tiranti in acciaio
• Iniezione di malta cementizia

Costo: ~300 milioni di euro. La lezione principale è l’importanza di indagini geotecniche approfondite e della considerazione dei cedimenti differenziali.

Caso 2: Crollo del Transcona Grain Elevator (1913)

In Canada, un silo per grano crollò durante la costruzione a causa di:

• Fondazione su argilla sensibile (quick clay)
• Carico applicato troppo rapidamente
• Mancata considerazione della ridotta resistenza non drenata

Il cedimento improvviso causò 1 vittima e danni per milioni di dollari. Questo caso portò allo sviluppo di:

• Metodi per misurare la sensibilità delle argille
• Procedure di carico graduale per fondazioni su terreni sensibili

11. Domande Frequenti (FAQ)

Qual è la differenza tra capacità portante ultima e ammissibile?

La capacità portante ultima (q_lim) è il carico che causa il collasso della fondazione (cedimento generalizzato). La capacità portante ammissibile (q_amm) è invece il carico massimo consentito in esercizio, ottenuto dividendo q_lim per un fattore di sicurezza globale (FS):

q_amm = q_lim / FS

Tipicamente, FS varia tra 2 e 3 a seconda della normativa e del livello di conoscenza del terreno.

Come si determina il valore caratteristico dei parametri geotecnici?

Secondo le NTC 2018 (§6.2.2), il valore caratteristico (X_k) di un parametro geotecnico si ottiene come:

X_k = (X_mean ± k·σ’) / γ_M

Dove:

• X_mean = media dei valori misurati
• k = fattore che dipende dal numero di prove (es. k=1.64 per confidenza 95%)
• σ’ = devianza standard
• γ_M = coefficiente parziale (1.0-1.4)

Per almeno 5 prove, si può assumere X_k = min(X_mean·ξ, X_min), dove ξ dipende dal coefficiente di variazione COV.

Quando è necessario considerare la falda?

La falda influisce significativamente sulla capacità portante quando:

• Si trova entro una profondità pari a B sotto la base della fondazione (per terreni non coesivi).
• Il livello varia stagionalmente (in tal caso, considerare la condizione più sfavorevole).
• Il terreno è saturato (es. argille sotto falda).

In presenza di falda, il peso di volume da utilizzare nei calcoli è:

γ’ = γ_sat – γ_w ≈ 10 kN/m³ (per sabbie sature)

Per fondazioni in argilla sature, possono essere critiche le verifiche a breve termine (non drenate), dove φ’ = 0 e c = c_u.

Come si modella un carico eccentrico?

Per carichi eccentrici (e), si utilizza il concetto di fondazione equivalente con dimensioni ridotte:

B’ = B – 2·e_B
L’ = L – 2·e_L

Dove e_B ed e_L sono le eccentricità lungo i lati B ed L. Se B’ o L’ risultano negativi, la fondazione è instabile.

In alternativa, si può applicare il metodo di Meyerhof, che considera una distribuzione trapezoidale delle tensioni:

q_max/min = (P/A) · (1 ± 6e/B)

Dove P è il carico totale e A l’area della fondazione. La capacità portante viene poi calcolata usando q_max.