Calcolatore Uscita a Regime della FDT
Calcola l’uscita a regime della Funzione di Trasferimento Discreta (FDT) con parametri personalizzati
Risultati del Calcolo
Guida Completa: Come Calcolare l’Uscita a Regime della FDT con Esercizi Svolti
Una spiegazione dettagliata dei metodi per determinare l’uscita a regime dei sistemi discreti con esempi pratici
Introduzione ai Sistemi Discreti e FDT
La Funzione di Trasferimento Discreta (FDT) rappresenta il rapporto tra la trasformata Z dell’uscita e la trasformata Z dell’ingresso di un sistema discreto. L’analisi dell’uscita a regime è fondamentale per comprendere il comportamento stazionario del sistema quando il transitorio si è esaurito.
Per i sistemi stabili, l’uscita a regime può essere calcolata utilizzando:
- Teorema del Valore Finale per sistemi con ingressi standard
- Analisi in frequenza per ingressi sinusoidali
- Simulazione temporale per ingressi arbitrari
Metodi per il Calcolo dell’Uscita a Regime
1. Teorema del Valore Finale
Per un sistema stabile con funzione di trasferimento G(z) e ingresso X(z), l’uscita a regime y(∞) può essere calcolata come:
y(∞) = lim
z→1 (1-z⁻¹) Y(z) = lim z→1 (1-z⁻¹) G(z) X(z)
- Calcolare Y(z) = G(z)X(z) = (0.5/(z-0.5))(z/(z-1))
- Applicare il teorema: y(∞) = lim z→1 (1-z⁻¹)(0.5z)/((z-0.5)(z-1)) = 1
2. Analisi delle Radici
L’uscita a regime dipende dalla posizione dei poli della FDT:
| Posizione Polo | Comportamento a Regime | Tempo di Assestamento Approssimativo |
|---|---|---|
| Polo reale a z=0.8 | Convergenza esponenziale | ≈4/T (dove T è il tempo di campionamento) |
| Polo complesso z=0.9±j0.1 | Oscillazioni smorzate | ≈5/T |
| Polo in z=1 | Sistema instabile (uscita divergente) | N/A |
| Polo in z=-0.5 | Oscillazioni alternate | ≈3/T |
Esercizi Svolti con Soluzioni Dettagliate
Esercizio 1: Sistema del Primo Ordine
Testo: Data la FDT G(z) = 0.368/(z-0.632) con T=0.1s, calcolare l’uscita a regime per un ingresso a gradino unitario.
Soluzione:
- X(z) = z/(z-1) per il gradino unitario
- Y(z) = G(z)X(z) = (0.368/(z-0.632))(z/(z-1))
- Applicare il teorema del valore finale:
y(∞) = lim z→1 (1-z⁻¹)(0.368z)/((z-0.632)(z-1)) = 1
Esercizio 2: Sistema del Secondo Ordine
Testo: Per G(z) = 0.2(z+1)/(z²-1.2z+0.32) con T=0.05s, determinare l’uscita a regime per ingresso sinusoidale x(k) = sin(0.5kT).
Soluzione:
- Convertire l’ingresso sinusoidale in forma complessa: x(k) = Im{e^(j0.5kT)}
- Calcolare la risposta in frequenza: G(e^(j0.5T)) = 0.2(e^(j0.5T)+1)/(e^(jT)-1.2e^(j0.5T)+0.32)
- L’uscita a regime sarà: y(k) = |G(e^(j0.5T))|·sin(0.5kT + ∠G(e^(j0.5T)))
- Calcolare numericamente il modulo e la fase per ottenere l’ampiezza e lo sfasamento
Confronto tra Metodi di Calcolo
| Metodo | Precisione | Complessità | Applicabilità | Tempo di Calcolo |
|---|---|---|---|---|
| Teorema del Valore Finale | Alta (per sistemi stabili) | Bassa | Ingressi standard (gradino, rampa) | Immediato |
| Analisi in Frequenza | Alta | Media | Ingressi sinusoidali | Rapido |
| Simulazione Temporale | Molto alta | Alta | Qualsiasi ingresso | Lento (dipende da k) |
| Decomposizione in Fratti Semplici | Alta | Media-Alta | Sistemi con poli distinti | Medio |
Errori Comuni e Come Evitarli
- Dimenticare di verificare la stabilità: Il teorema del valore finale richiede che tutti i poli di (1-z⁻¹)Y(z) siano dentro il cerchio unitario.
- Confondere poli e zeri: Gli zeri influenzano la forma transitoria ma non la stabilità.
- Trascurare il tempo di campionamento: T influenza direttamente la posizione dei poli nella trasformata z.
- Applicare il teorema a sistemi instabili: Risultati privi di significato fisico.
- Errori nei calcoli algebrici: Particolare attenzione alle operazioni con numeri complessi.
Risorse Autorevoli per Approfondimenti
Per una trattazione accademica rigorosa dei sistemi discreti e delle FDT, consultare: